1. VP-SDE (Variance Preserving SDE) 증명
정의: \(dx_t=-\tfrac12\,\beta(t)\,x_t\,dt+\sqrt{\beta(t)}\,dW_t\).
- \(W_t\)는 표준 브라운 운동
Brownian motion
- 정의: \(\{W_t\}_{t\ge0}\)은
- \(W_0=0\), 독립증분, 정규분포 증분을 가지는 연속 확률과정.
- 분포: \(W_t - W_s \sim \mathcal{N}(0,\, t-s)\)
- \(W_t \sim \mathcal{N}(0,\, t)\).
- 성질: \(\mathbb{E}[W_t]=0,\;\text{Var}(W_t)=t,\;\text{Cov}(W_s,W_t)=\min(s,t)\).
a) 적분인자
양변에 적분인자를 다음과 같이 설정하기!
\(\rightarrow\) \(I(t)=\exp\!\Big(\tfrac12\int_0^t\beta(u)\,du\Big)\)
- 위와 같이 선정한 이유?
- (1) I(t) = \(\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big)\).
- (2) p(t) = \(\frac{1}{2}\beta(t)\) 이므로
- \(I(t) = \exp\!\Big(\int \tfrac{1}{2}\beta(t)\,dt\Big) = \exp\!\Big(\tfrac{1}{2}\int_0^t \beta(u)\,du\Big)\).
(편의 상, \(I(t)\)의 역수를 \(\alpha(t)\)로 정의함)
\(\alpha(t)\;\coloneqq\;\exp\!\Big(-\tfrac12\int_0^t\beta(u)\,du\Big) \quad\Rightarrow\quad I(t)=\alpha(t)^{-1}\).
b) Ito 미분
\(\boxed{d\!\big(I(t)\,x_t\big) =I(t)\,dx_t + x_t\,dI(t) + d\langle I,x\rangle_t}\).
\(I(t)\): deterministic 함수. 따라서…
- \(d\langle I,x\rangle_t=0\),
-
\[dI(t)=\tfrac12\beta(t)\,I(t)\,dt\]
- Note) \(I(t) = \exp\!\Big(\int \tfrac{1}{2}\beta(t)\,dt\Big)\)
위로 인해,
\(d\!\big(Ix\big) = I\Big(-\tfrac12\beta x\,dt+\sqrt{\beta}\,dW\Big) • x\cdot\tfrac12\beta I\,dt = I\sqrt{\beta(t)}\,dW_t\).
양변을 \(0\to t\) 적분하면
- \(I(t)\,x_t = x_0 + \int_0^t I(s)\sqrt{\beta(s)}\,dW_s\),
결론:
\(\boxed{ x_t = \alpha(t)\,x_0 \;+\; \int_0^t \frac{\alpha(t)}{\alpha(s)}\sqrt{\beta(s)}\,dW_s. }\).
(보통 정규분포 잡음 한 덩어리로 쓰려고)
\(\boxed{x_t=\alpha(t)\,x_0+\sigma(t)\,z,\quad z\sim\mathcal N(0,I)}\).
형태로 표기!
(b) 분산 계산 (Itô isometry)
Q) 아래에서 \(\sigma^2(t)\)가 어떻게 나오는지??
확률적 적분의 분산은 Itô 등가분산을 쓰면
\(\mathrm{Var}\!\left[\int_0^t \frac{\alpha(t)}{\alpha(s)}\sqrt{\beta(s)}\,dW_s\right] =\int_0^t \left(\frac{\alpha(t)}{\alpha(s)}\right)^2\beta(s)\,ds\).
위 식에
\(\alpha(t)=\exp\!\big(-\tfrac12\int_0^t\beta\big)\)를 대입하면…
\(\left(\frac{\alpha(t)}{\alpha(s)}\right)^2 =\exp\!\Big(-\!\!\int_s^t \beta(u)\,du\Big)\).
따라서
\(\boxed{ \sigma^2(t) = \int_0^t \exp\!\Big(-\!\!\int_s^t \beta(u)\,du\Big)\,\beta(s)\,ds}\).
이 적분은 깔끔하게 닫힌형으로 정리.
Let \(g(t) = \sigma^2(t)\)
- \(g(t)\;=\;\int_0^t \exp\!\Big(-\!\!\int_s^t \beta(u)\,du\Big)\,\beta(s)\,ds\).
라이프니츠 법칙으로 미분하면
- \(g’(t)=\beta(t)-\beta(t)\,g(t)\;\Rightarrow\; g’(t)+\beta(t)g(t)=\beta(t),\quad g(0)=0\).
해는
\(\boxed{g(t)=1-\exp\!\Big(-\!\!\int_0^t \beta(u)\,du\Big)=1-\alpha(t)^2}\).
즉
\(\boxed{\sigma^2(t)=1-\alpha(t)^2}\).
(c) 최종 정리와 분산 보존
요약하면
\(\boxed{ x_t=\alpha(t)\,x_0\;+\;\sigma(t)\,z,\qquad \alpha(t)=\exp\!\Big(-\tfrac12\!\!\int_0^t\beta\Big),\quad \sigma^2(t)=1-\alpha(t)^2. }\).
분산은
\(\mathrm{Var}[x_t]=\alpha(t)^2\,\mathrm{Var}[x_0]+\sigma^2(t) =\alpha(t)^2\,\mathrm{Var}[x_0]+(1-\alpha(t)^2).\).
특히 데이터를 단위분산으로 정규화(\mathrm{Var}[x_0]=1)했다면
\(\mathrm{Var}[x_t]=1\quad(\forall t)\).
\(\therefore\) Variance Preserving이 됨!
2. VE-SDE (Variance Exploding SDE) 증명
정의: \(dx_t=\sqrt{\frac{d\sigma^2(t)}{dt}}\,dW_t\)
- 드리프트 0
- 확산계수만 \(t\)의 함수
해: 드리프트가 없으므로
\(\boxed{ x_t = x_0 + \int_0^t \sqrt{\frac{d\sigma^2(s)}{ds}}\,dW_s}\).
분산
\(\mathrm{Var}\!\left[\int_0^t \sqrt{\frac{d\sigma^2(s)}{ds}}\,dW_s\right] =\int_0^t \frac{d\sigma^2(s)}{ds}\,ds =\boxed{\sigma^2(t)}\).
따라서
\[\boxed{ x_t = x_0 + \sigma(t)\,z,\quad z\sim\mathcal N(0,I),\qquad \mathrm{Var}[x_t]=\mathrm{Var}[x_0]+\sigma^2(t)}\]\(\rightarrow\) \(t\)가 커질수록 분산이 계속 증가(Exploding)
3. Summary
| SDE | 해 | 분산 |
|---|---|---|
| VP-SDE \(dx=-\tfrac12\beta(t)\,x\,dt+\sqrt{\beta(t)}\,dW\) | \(x_t=\alpha(t)x_0+\displaystyle\int_0^t \frac{\alpha(t)}{\alpha(s)}\sqrt{\beta(s)}\,dW_s\) | \(\sigma^2(t)=1-\alpha(t)^2 → \mathrm{Var}[x_t]=\alpha(t)^2\mathrm{Var}[x_0]+(1-\alpha^2(t))\) |
| VE-SDE \(dx=\sqrt{d\sigma^2/dt}\,dW\) | \(x_t=x_0+\displaystyle\int_0^t \sqrt{d\sigma^2/ds}\,dW_s\) | \(\mathrm{Var}[x_t]=\mathrm{Var}[x_0]+\sigma^2(t)\) |
이렇게 해서 두 과정의 해가 각각 저 꼴이 되는 이유(적분인자/Itô 등가분산)와, “preserving vs exploding”이라는 이름이 분산의 시간 거동에서 자연스럽게 나온다는 것을 확인할 수 있습니다.