Causal Inference - Part 3

Causal Inference - Part 3

Contents

1. Rubin Causal Model (RCM)
2. 무작위 실험 (Randomized Experiment)
3. 통계적 방법: 매칭 (Matching)
4. 통계적 방법: 회귀(Regression Adjustment)
5. Comparison

1. Rubin Causal Model (RCM)

• Potential Outcomes Framework라고도 부름
• 핵심: “무엇이 일어났을까?”와 “무엇이 일어났을 수도 있었을까?”를 비교함으로써 인과 효과를 정의합

(1) 핵심 개념

a) Potential Outcomes (잠재 결과)

• 어떤 단위 (unit, 예: 사람, 회사 등)에 대해 두 개의 잠재 결과가 존재

  • Y(1): 처치를 받았을 때의 결과 (treated)
  • Y(0): 처치를 받지 않았을 때의 결과 (control)

• 단위당 하나의 결과만 실제로 관측됨

  \(\rightarrow\) “Fundamental Problem of Causal Inference”:

b) Causal Effect (인과 효과)

• 한 단위에서의 인과 효과:

  \[\text{Causal Effect} = Y(1) - Y(0)\]

• 하지만 위에서 본 것처럼 두 결과를 모두 볼 수 없음

  \(\rightarrow\) 따라서, 집단 평균 효과(Average Treatment Effect, ATE)를 추정!

c) ATE (Average Treatment Effect)

\(\text{ATE} = \mathbb{E}[Y(1) - Y(0)] = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)]\).

(2) Assumptions (전제)

1. Stable Unit Treatment Value Assumption (SUTVA):
   • 다른 단위의 처리가 내 결과에 영향을 주지 않음 (no interference)
   • 처치가 한 형태로만 정의됨 (well-defined treatment)
2. Ignorability (또는 Unconfoundedness):
   • \[(Y(1), Y(0)) \perp T \mid X\]
     • 즉, 조건부로 무작위 할당이라면 인과 효과 추정 가능
3. Overlap (Common Support):
   • 어떤 X 값에서도 처치군과 대조군이 모두 존재해야 함.

(3) 예시

학생	보충수업 (T)	실제 성적 (Y)	예상 성적 if no 수업 (Y(0))	예상 성적 if 수업 (Y(1))
A	1	85	80	85
B	1	90	85	90
C	1	75	70	75
D	0	78	78	82
E	0	82	82	86
F	0	70	70	75

잠재 결과와 인과 효과

• A의 인과 효과: \(85 - 80 = 5\)
• …
• D의 인과 효과: \(82 - 78 = 4\)
• ..

\(\therefore\) 전체 ATE:

\(\frac{(5 + 5 + 5 + 4 + 4 + 5)}{6} = \frac{28}{6} \approx 4.67\).

Summary

Rubin Causal Model은 잠재 결과 중 하나만 관측 가능하므로…

\(\rightarrow\) 인과 효과를 정확히 추정하기 위해서는 무작위 실험이나 통계적 방법을 사용해야!!

2. 무작위 실험 (Randomized Experiment)

학생	보충수업 (T)	실제 성적 (Y)
A	1	85
B	1	90
C	1	75
D	0	78
E	0	82
F	0	70

• 처치군 평균: \(\frac{85 + 90 + 75}{3} = \frac{250}{3} \approx 83.3\)
• 대조군 평균: \(\frac{78 + 82 + 70}{3} = \frac{230}{3} \approx 76.7\)
• ATE 추정: \(83.3 - 76.7 = 6.6\)

무작위 할당 덕분에

• \(\mathbb{E}[Y(1) \mid T=1] \approx \mathbb{E}[Y(1)]\),

• \(\mathbb{E}[Y(0) \mid T=0] \approx \mathbb{E}[Y(0)]\),

\(\rightarrow \therefore\) 단순 평균 차이로도 ATE를 추정 가능!

3. 통계적 방법: 매칭 (Matching)

비슷한 사람끼리 비교하자!

e.g., 보충수업을 받은 학생과 비슷한 성향의 안 받은 학생을 짝지어!

보충수업 학생	성적 (Y)	매칭된 학생	성적 (Y)	추정 인과 효과
A	85	D (78점)	78	7
B	90	E (82점)	82	8
C	75	F (70점)	70	5

• 추정 ATE: \(\frac{(7 + 8 + 5)}{3} = \frac{20}{3} \approx 6.67\)

4. 통계적 방법: 회귀(Regression Adjustment)

• 보충수업 여부 \(T\) & 다른 공변량 \(X\) (e.g., 사전 성적 등)

• \(Y = \alpha + \beta T + \gamma X + \epsilon\).

  • \(\beta\): 보충수업의 추정된 인과 효과

Example

학생	T (보충수업)	X (사전 점수)	Y (최종 점수)
A	1	80	85
B	1	85	90
C	1	70	75
D	0	78	78
E	0	82	82
F	0	70	70

• \(\beta \approx 5\) 로 추정됨

한 줄 요약: 공변량 X를 통제함으로써 selection bias를 완화하고 인과 효과를 추정하는 방식입니다.

5. Comparison

방법	장점	한계
무작위 실험	인과 추론의 황금 기준	현실적으로 어려운 경우 많음
매칭	직관적이고 해석 쉬움	매칭 잘 안 될 수도 있음
회귀	일반적, 많은 상황 적용 가능	모델 가정에 민감함