Causal Inference - Part 4

Causal Inference - Part 4

Contents

1. SCM 개요
2. SCM의 3단계 추론
3. 개입: do-연산자
4. Backdoor Criterion (역인과 경로 차단)
5. RCM vs. SCM

1. SCM 개요

(1) 핵심 아이디어

핵심: 인과적 구조 (equations + graph)

• 즉, 변수들 간의 관계를 함수적 관계 (structural equations)로 명시
• 이를 인과 그래프(DAG)로 나타냄

(2) 구성 요소

구성 요소	설명
변수 (Variables)	원인과 결과를 포함하는 모든 변수들 (관측/비관측 포함)
구조적 방정식 (Structural Equations)	각 변수는 부모 변수들의 함수로 표현됨. 예: \(Y = f(X, U_Y)\)
인과 그래프 (Causal DAG)	변수 간 인과 관계를 나타내는 방향성 그래프

(3) Example

• 변수: \(X\) (공부 시간), \(Y\) (시험 점수)

• 비관측 변수: \(U_Y\) (지능, 잠재적 능력)

• 구조적 방정식:

  \[Y = f(X, U_Y) = 2X + U_Y\]

• DAG:

X  ---->
         Y
U_Y ---->

2. SCM의 3단계 추론

Pearl의 Ladder of Causation

단계	종류	질문 예시	관련 도구
1단계	관찰 (Association)	“시험 점수가 높은 사람들은 공부를 많이 하나요?”	조건부 확률 P(Y \mid X)
2단계	개입 (Intervention)	“공부 시간을 강제로 5시간으로 정하면 점수는 어떻게 될까?”	개입 확률 P(Y \mid \text{do}(X=5))
3단계	반사실 (Counterfactual)	“그 학생이 공부를 했더라면 더 좋은 점수를 받았을까?”	P(Y_{x’} \mid X = x, Y = y)

3. 개입: do-연산자

개입 = 강제로 조작

수학적 표현: \(P(Y \mid \text{do}(X=5))\)

• 이는 단순한 조건부 확률 \(P(Y \mid X=5)\) 와는 다름!
• (1) 조건부 확률: “공부 시간 관찰값이 5시간인 학생의 평균 점수”
• (2) do-연산자: “공부 시간을 강제로 5시간으로 만들었을 때의 평균 점수”

4. Backdoor Criterion (역인과 경로 차단)

혼란(confounding)을 조절하기 위한 핵심 도구!!!!

변수 집합 \(Z\)가 \(X \rightarrow Y\) 경로의 backdoor path를 모두 차단하면,

\(\rightarrow\) \(P(Y \mid \text{do}(X)) = \sum_z P(Y \mid X, Z=z)P(Z=z)\)

즉, 관측된 데이터만으로 인과 효과 추정 가능!!

Example 1

graph LR
U[지능 U] --> X[공부시간 X]
U --> Y[시험 점수 Y]
X --> Y

• 이 경우 U는 confounder (원인과 결과 모두에 영향을 주는 변수)

• \(P(Y \mid \text{do}(X)) \neq P(Y \mid X)\).

  → \(U\)를 통제해야 인과 추론 가능

Example 2

• \(X\): 운동 여부 (0 = 안 함, 1 = 함)
• \(Y\): 건강 점수 (0~100)
• \(Z\): 나이 (confounder, 0 = 젊음, 1 = 노년)
• DAG:

Z → X → Y
Z → Y

Z(나이)	X(운동)	Y(건강 점수)
0	1	90
0	0	85
1	1	70
1	0	60

1. 나이별 조건부 기대값:

   • \(P(Y \mid X=1, Z=0) = 90, P(Y \mid X=0, Z=0) = 85\).
   • \(P(Y \mid X=1, Z=1) = 70, P(Y \mid X=0, Z=1) = 60\)>

2. 나이 분포: \(P(Z=0)=0.5, P(Z=1)=0.5\)

3. Backdoor Adjustment

   • \(P(Y \mid \text{do}(X=1)) = 0.5 \times 90 + 0.5 \times 70 = 80\).
   • \(P(Y \mid \text{do}(X=0)) = 0.5 \times 85 + 0.5 \times 60 = 72.5\).

   \(\rightarrow\) \(\text{ATE} = 80 - 72.5 = 7.5\).

5. RCM vs. SCM

항목	Rubin Causal Model (RCM)	Structural Causal Model (SCM)
기반	잠재 결과 (Potential Outcomes)	구조적 함수와 그래프
인과 효과 정의	\(Y(1) - Y(0)\)	\(P(Y \mid \text{do}(X))\)
인과 추정 방법	무작위화, 매칭, 회귀 등	도구 변수, 백도어 조정 등
표현 방식	수식 기반, 잠재 결과	인과 그래프 (DAG), 방정식
반사실(Counterfactuals)	있음	매우 정교하게 다룸